что такое сочетание в теории вероятности

1.3.3. Сочетания

В учебниках обычно даётся лаконичное и не очень понятное определение сочетаний, поэтому в моих устах формулировка будет не особо рациональной, но, надеюсь, доходчивой:

Сочетаниями называют различные комбинации из 1 3 1 elementy kombinatoriki clip image029объектов, которые выбраны из множества 1 3 1 elementy kombinatoriki clip image031различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из 1 3 1 elementy kombinatoriki clip image029 0000элементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле 1 3 1 elementy kombinatoriki clip image033.
Задача 3

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение: прежде всего, обращаю внимание на то, что по логике такого условия, детали считаются различными – даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы (в этом случае их можно, например, пронумеровать
).

В задаче речь идёт о выборке из четырёх деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:

1 3 1 elementy kombinatoriki clip image035(прерываю решение для промежуточных объяснений)

И здесь, конечно, не нужно «тягать» значения 1 3 1 elementy kombinatoriki clip image037. В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: в знаменателе выбираем наибольший факториал (в данном случае 1 3 1 elementy kombinatoriki clip image039) и сокращаем на него дробь. Для этого числитель следует представить в виде 1 3 1 elementy kombinatoriki clip image041. Распишу очень подробно:

1 3 1 elementy kombinatoriki clip image043способами можно взять 4 детали из ящика.

Ещё раз: что это значит? Это значит, что из 15 различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетаний из 4 деталей. То есть, каждая такая комбинация из четырёх деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.

Ответ: 1365 способами

Формуле 1 3 1 elementy kombinatoriki clip image033 0000необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно понимать и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: 1 3 1 elementy kombinatoriki clip image046. Применительно к разобранной задаче:

1 3 1 elementy kombinatoriki clip image048– единственным способом можно не выбрать ни одной детали;
1 3 1 elementy kombinatoriki clip image050способами можно взять 1 деталь (любую из 15);
1 3 1 elementy kombinatoriki clip image052способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15 останется в ящике);
1 3 1 elementy kombinatoriki clip image054– единственным способом можно выбрать все пятнадцать деталей.

Рекомендую вновь обратиться к Приложению Формулы комбинаторики и внимательно ознакомиться с биномом Ньютона и треугольником Паскаля (пункт 3), по которому очень удобно выполнять проверку вычислений количества сочетаний 1 3 1 elementy kombinatoriki clip image056при небольших значениях «эн».

Для самостоятельного решения:

Задача 4

а) Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

б) В шахматном турнире участвует 1 3 1 elementy kombinatoriki clip image058человек и каждый с каждым играет по одной партии. Сколько всего партий сыграно в турнире?

Чем приятны многие комбинаторные задачи, так это краткостью – главное, разобраться в сути. Решения и ответы в конце книги.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Источник

Что такое сочетание в теории вероятности

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

Предварительно познакомимся с понятием факториала.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют

Screenshot 2

Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Число перестановок можно вычислить по формуле

Screenshot 5

Screenshot 6

Запишем эту формулу в факториальной форме:

Screenshot 8

Screenshot 9

Screenshot 10

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

Источник

Основы теории вероятностей и математической статистики

Разделы: Математика

ВВЕДЕНИЕ

Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы;
но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий.
Козьма Прутков

Основная цель изучения математики в средних специальных учебных заведениях состоит в том, чтобы дать студентам набор математических знаний и навыков, необходимых для изучения других программных дисциплин, использующих в той или иной мере математику, для умения выполнять практические расчеты, для формирования и развития логического мышления.

Читайте также:  что такое полип в матке и опасен ли

В данной работе последовательно вводятся все базовые понятия раздела математики «Основы теории вероятностей и математической статистики», предусмотренные программой и Государственными образовательными стандартами среднего профессионального образования (Министерство образования Российской Федерации. М., 2002г.), формулируются основные теоремы, большая часть которых не доказывается. Рассматриваются основные задачи и методы их решения и технологии применения этих методов к решению практических задач. Изложение сопровождается подробными комментариями и многочисленными примерами.

Методические указания могут быть использованы для первичного ознакомления с изучаемым материалом, при конспектировании лекций, для подготовки к практическим занятиям, для закрепления полученных знаний, умений и навыков. Кроме того, пособие будет полезно и студентам- старшекурсникам как справочное пособие, позволяющее быстро восстановить в памяти то, что было изучено ранее.

В конце работы приведены примеры и задания, которые студенты могут выполнять в режиме самоконтроля.

Методические указания предназначены для студентов заочной и дневной форм обучения.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых случайных событий. Она является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений. Путем наблюдений (испытаний, экспериментов), т.е. опыта в широком смысле слова, происходит познание явлений действительного мира.

В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых невозможно предсказать, результат которых зависит от случая.

Случайное явление можно охарактеризовать отношением числа его наступлений к числу испытаний, в каждом из которых при одинаковых условиях всех испытаний оно могло наступить или не наступить.

Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении.

При этом под статистическими данными понимается совокупность чисел, которые представляют количественные характеристики интересующих нас признаков изучаемых объектов. Статистические данные получаются в результате специально поставленных опытов, наблюдений.

Статистические данные по своей сущности зависят от многих случайных факторов, поэтому математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, которая является ее теоретической основой.

I. ВЕРОЯТНОСТЬ. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Основные понятия комбинаторики

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

Предварительно познакомимся с понятием факториала.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут Image482.

Вычислить: а) Image483; б) Image484; в) Image485.

Решение. а) Image486.

б) Так как Image487и Image488, то можно вынести за скобки Image489

Image490.

в) Image491.

Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Число перестановок можно вычислить по формуле

Image492

или с помощью факториала:

Image493

Запомним, что 0!=1 и 1!=1.

Пример 2. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.

Image494.

Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком из расположения.

Размещения обозначаются символом Image495, где m— число всех имеющихся элементов, n— число элементов в каждой комбинации. (А-первая буква французского слова arrangement, что означает «размещение, приведение в порядок»).

При этом полагают, что nImage496m.

Число размещений можно вычислить по формуле

Image497,

т.е. число всех возможных размещений из m элементов по n равно произведению n последовательных целых чисел, из которых большее есть m.

Запишем эту формулу в факториальной форме:

Image498.

Пример 3. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?

Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов по 3 элемента, т.е.

Image499.

Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n-натуральные числа, причем n Image500m).

В общем случае число из m элементов по n равно числу размещений из m элементов по n, деленному на число перестановок из n элементов:

Читайте также:  Вышла замуж подруга сонник миллера

Image502

Используя для чисел размещений и перестановок факториальные формулы, получим:

Image503

Пример 4. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать Image504способами.

Находим по первой формуле

Image505.

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

Image506Image507

(по определению полагают Image508и Image509);

Image510.

1.2. Решение комбинаторных задач

Задача 1. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Способов постановки в расписание трех предметов из 16 столько, сколько можно составить размещений из 16 элементов по 3.

Image511.

Задача 2. Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать?

Image512

Задача 3. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

Image513.

Задача 4. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?

Решение. Солдат в дозор можно выбрать

Image514

способами, а офицеров Image515способами. Так как с каждой командой из солдат может пойти любой офицер, то всего имеется Image516способов.

Задача 5. Найти Image517, если известно, что Image518.

Так как Image519, то получим

Image520,

Image521,

Image522,

Image523

Image524, Image525.

По определению сочетания следует, что Image526, Image527. Т.о. Image528.

1.3. Понятие о случайном событии. Виды событий. Вероятность события

Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.

Результат этого действия или наблюдения называется событием.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти,- невозможным.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них.

События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

Если полная система состоит из двух несовместных событий, то такие события называются противоположными и обозначаются А и Image529.

Пример. В коробке находится 30 пронумерованных шаров. Установить, какие из следующих событий являются невозможными, достоверными, противоположными:

достали пронумерованный шар (А);

достали шар с четным номером (В);

достали шар с нечетным номером (С);

достали шар без номера (Д).

Какие из них образуют полную группу?

Полную группу событий составляют А и Д, В и С.

Вероятность события, рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

1.4. Классическое определение вероятности

Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом Р(А).

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е. Image530.

Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, подсчитать все возможные несовместные исходы n, выбрать число интересующих нас исходов m и вычислить отношение m к n.

Из этого определения вытекают следующие свойства:

Вероятность любого испытания есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.

Действительно, число m искомых событий заключено в пределах Image531. Разделив обе части на n, получим

Image532.

2. Вероятность достоверного события равна единице, т.к. Image533.

3. Вероятность невозможного события равна нулю, поскольку Image534.

Задача 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение. Общее число различных исходов есть n=1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле, получим

Image535.

Задача 2. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.

Читайте также:  Гоголь летаргический сон или легенда

Решение. Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 18 по 5 т.е.

Image536

Подсчитаем число m, благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2:

Image537Image35.

Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся качественных равно

Image538.

Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, поэтому общее число комбинаций m составляет

Image539.

Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов m, благоприятствующих этому событию, к числу n всех равновозможных независимых исходов:

Image540.

Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

Сумму двух событий обозначают символом А+В, а сумму n событий символом А12+ : +Аn.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна Image35сумме Image35Image35вероятностей этих событий.

Image541или

Image542

Image543.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий Image544и Image545равна единице.

Image546.

Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то

Image547.

Решение. События «контрольная работа поступила из города А«, «контрольная работа поступила из города В» и «контрольная работа поступила из города С» образуют полную систему, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

Image548, т.е. Image549.

Задача 3. Вероятность того, что день будет ясным, Image550. Найти вероятность Image551того, что день будет облачным.

Решение. События «день ясный» и «день облачный» противоположные, поэтому

Image552, т.е Image553.

При совместном рассмотрении двух случайных событий А и В возникает вопрос:

Как связаны события А и В друг с другом, как наступление одного из них влияет на возможность наступления другого?

Простейшим примером связи между двумя событиями служит причинная связь, когда наступление одного из событий обязательно приводит к наступлению другого, или наоборот, когда наступление одного исключает возможность наступления другого.

Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Обозначив условную вероятность Image555, получим формулу

Image556, Image557.

Задача 1. Вычислить вероятность того, что в семье, где есть один ребенок- мальчик, родится второй мальчик.

Рассмотрим все возможные исходы: мальчик и мальчик; мальчик и девочка; девочка и мальчик; девочка и девочка.

Тогда Image558, Image559и по формуле находим

Image560.

Событие А называется независимым от события В, если наступление события В не оказывает никакого влияния на вероятность наступления события А.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Image561.

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле

Image562.

Задача 2. В первой урне находится 6 черных и 4 белых шара, во второй- 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение. Пусть Image563— из первой урны извлечен белый шар; Image564— из второй урны извлечен белый шар. Очевидно, что события Image563и Image565независимы.

Так как Image566, Image567, то по формуле Image568находим

Image569.

Задача 3. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать.

Решение. Пусть событие А— выход из строя первого элемента, событие В— выход их строя второго элемента. Эти события независимы (по условию).

а) Одновременное появление А и В есть событие АВ. Следовательно,

Image570.

б) Если работает первый элемент, то имеет место событие Image571(противоположное событию А— выходу этого элемента из строя); если работает второй элемент- событие В. Найдем вероятности событий Image572и Image573:

Image574;

Image575.

Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть Image576и, значит,

Image577.

Источник

DACHARAI - самый большой ресурс для садовода
Adblock
detector